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2001年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲（三）


    四、向量代数和空间解析几何

    考试内容

    向量的概念向量的线性运算向量的数量积和向量积的概念及运算向量的混合积两向量垂直、平行的条件两向量的夹角向量的坐标表达式及其运算单位向量方向数与方向余弦曲面方程和空间曲线方程的概念平面方程、直线方程平面与平面、平面与直线、直线与直线的平行、垂直的条件和夹角点到平面和点到直线的距离球面母线平行于坐标轴的柱面旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程常用的二次曲面方程及其图形空间曲线的参数方程和一般方程空间曲线在坐标面上的投影曲线方程

    考试要求

    1.理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。

    2．掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），了解两个向量垂直、平行的条件。

    3．掌握单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，以及用坐标表达式进行向量运算的方法。

    4．掌握平面方程和直线方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。

    5．理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。

    6．了解空间曲线的参数方程和一般方程。

    7.了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。

    五、多元函数微分学

    考试内容

    多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限和连续的概念有界闭区域上多元连续函数的性质多元函数偏导数和全微分的概念全微分存在的必要条件和充分条件全微分在近似计算中的应用多元复合函数、隐函数的求导法二阶偏导数方向导数和梯度的概念及其计算空间曲线的切线和法平面曲面的切平面和法线二元函数的二阶泰勒公式多元函数极值和条件极值的概念多元函数极值的必要条件二元函数极值的充分条件极值的求法拉格朗日乘数法多元函数的最大值、最小值及其简单应用

    考试要求

    1．理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。

    2．了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。3．理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性，了解全微分在近似计算中的应用。

    4．理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。

    5．掌握多元复合函数偏导数的求法。

    6．会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。

    7．了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。8．了解二元函数的二阶泰勒公式。

    9．理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值并会解决一些简单的应用问题。

    六、多元函数积分学

    考试内容二重积分、三重积分的概念及性质二重积分与三重积分的计算和应用两类曲线积分的概念、性质及计算两类曲线积分的关系格林（Green）公式平面曲线积分与路径无关的条件已知全微分求原函数两类曲面积分的概念、性质及计算两类曲面积分的关系高斯（Gauss）公式斯托克斯（STOKES)公式散度、旋度的概念及计算曲线积分和曲面积分的应用

    考试要求

    1．理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理。
    2．掌握二重积分（直角坐标、极坐标）的计算方法，会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）。

    3．理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。4．掌握计算两类曲线积分的方法。

    5．掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径元关的条件，会求全微分的原函数。6．了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，了解高斯公式、斯托克斯公式，会用高斯公式计算曲面积分。

    7．了解散度与旋度的概念，并会计算。

    8．会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功及流量等）。

    七、无穷级数

    考试内容

    常数项级数的收敛与发散的概念收敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必要条件几何级数与p级数以及它们的收敛性正项级数的比较审敛法、比值审敛法、根值审敛法交错级数与莱布尼茨定理任意项级数的绝对收敛与条件收敛函数项级数的收敛域与和函数的概念幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域幂级数的和函数幂级数在其收敛区间内的基本性质简单幂级数的和函数的求法函数可展开为泰勒级数的充分必要条件exp(x)、sinx、cosx、ln(1x)和(1x)a的麦克劳林（Maclaurin）展开式幂级数在近似计算中的应用函数的傅里叶（Fourier）系数与傅里叶级数狄利克雷（Dlrichlei）定理函数在[一l，l]上的傅里叶级数函数在[０，l]上的正弦级数和余弦级数

    考试要求

    1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。
    2．掌握几何级数与p级数的收敛与发散的条件。

    3．掌握正项级数的比较审敛法和比较审敛法，会用根值审敛法。

    4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。

    5.了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。

    7．掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。

    8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。

    9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。

    10．掌握exp(x)、sinx、cosx、ln(1x)和(1x)a的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。

    11．了解幂级数在近似计算上的简单应用。

    12．了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[——L，L]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，L]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。

    八、常微分方程

    考试内容
    常微分方程的概念微分方程的解、阶、通解、初始条件和特解变量可分离的方程齐次方程一阶线性方程伯努利（Bernoulli）方程全微分方程可用简单的变量代换求解的某些微分方程可降阶的高阶微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程简单的二阶常系数非齐次线性微分方程欧拉（Euler）方程包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组微分方程的幂级数解法微分方程（或方程组）的简单应用问题

    考试要求

    1．了解微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等概念．

    2．掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法．

    3．会解齐次方程、伯努利方程和个微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程4．会用降阶法解下列方程：y（n）＝f（x），y”=f（x，y’）y”＝f（y，y’）．

    5．理解线性微分方程解的性质及解的结构定理．

    6．掌握二队常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程，

    7．会求自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解．

    8．了解微分方程的幂级数解法，会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组．

    9．会用微分方程（或方程组）解决一些简单的应用问题．
·2001年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲（二）
·2001年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲（四）
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